GAMES101-11-2：Geometry - Bézier Surfaces

Bézier Surfaces

Extend Bézier curves to surfaces.

例子

Bézier Surfaces例子

绘制Bézier Surfaces

例子

Bezier surface and 4 x 4 array of control points.

Bicubic Bézier Surface Patch

具体操作

以bi-cubic Bezier surface为例进行说明。

• 输入：$4 \times 4$ control points；
• 输出：2D surface parameterized by $(u,v)$ in $[0,1]^2$；

与Bézier curves同样的过程，只不过这里是在两个方向上进行双线性插值。

步骤1

该方法称之为——Separable 1D de Casteljau Algorithm。由于在贝塞尔曲线的生成中，需要利用一个时间 $t$ 来生成对应的曲线，泛化到三维空间中，则需要两个时间来生成曲面，这里定义为 $u, v$。

具体过程如下：

1. 首先，在时间 $u$ 方向上生成对应的贝塞尔曲线，这里定义使用 $4 \times 4$ 的控制点构建曲面，因此这一步需要生成4条对应的贝塞尔曲线，得到的结果是任意时间 $u_i$ 下的最终的插值结果。
2. 将第一步得到的4个插值点视为 $v$ 方向上的控制点，然后再进行同样的插值操作，然后形成曲面上的一个点；
3. 按照上述过程，不断递归，从而形成最终所有的曲面上的点。

步骤2

动画效果如下：

动画效果

进一步阅读

这里类似之前在曲线中讨论的问题，如：

• 各个曲面如何拼接；
• 如果保证曲面拼接的“平滑”；

在曲线中遇到的问题在这里均会遇到，对于进一步的学习可以参考之前在曲线中提到的参考资料。